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Quotients égaux.                           

- Si l'on multiplie le numérateur (a) et le dénominateur (b) d'une fraction par le même nombre k ( différent de 0 ) alors le quotient garde la même valeur:

$\frac{a}{b}=\frac{k\times a}{k\times b}$\\(\frac{a}{b}=\frac{k\times a}{k\times b}\)
Exemple:

$\frac{2}{3}=\frac{2\times 5}{3\times 5}=\frac{10}{15}$\\(\frac{2}{3}=\frac{2\times5}{3\times5}=\frac{10}{15}\)        
- Si l'on divise le numérateur (a) et le dénominateur (b) d'une fraction par le même nombre k ( différent de 0 ) alors le quotient garde la même valeur:

$\frac{a}{b}=\frac{a÷k}{b÷k}$\\(\frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}\)

Exemple:

$\frac{12}{8}=\frac{12÷4}{8÷4}=\frac{3}{2}$\\(\frac{12}{8}=\frac{12\div4}{8\div4}=\frac{3}{2}\)

Méthode pour simplifier une fraction.
Pour simplifier une fraction il faut dans un premier temps exprimer le numérateur et le dénominateur comme des produits.
Il suffit ensuite de les diviser par leurs facteurs communs.
On dit qu'une fraction est simplifiée lorsque le numérateur et le dénominateur ne possèdent plus de facteur commun (sauf 1)
Exemple

$\frac{70}{42}$\\(\frac{70}{42}\)

70 peut s'écrire: $70=7\times 10$\\(70=7\times10\) que l'on peut encore décomposer en $70=7\times 2\times 5$\\(70=7\times2\times5\)
14 peut sécrire: $14=6\times 7$\\(14=6\times7\) que l'on peut encore décomposer en $14=2\times 3\times 7$\\(14=2\times3\times7\)
Donc on a légalité:

$\frac{70}{14}=\frac{7\times 2\times 5}{2\times 3\times 7}$\\(\frac{70}{14}=\frac{7\times2\times5}{2\times3\times7}\)
7 est un facteur commun au numérateur et au dénomintateur, on peut donc les diviser par 7:

$\frac{7\times 2\times 5}{2\times 3\times 7}=\frac{7\times 2\times 5÷7}{2\times 3\times 7÷7}=\frac{2\times 5}{2\times 3}$\\(\frac{7\times2\times5}{2\times3\times7}=\frac{7\times2\times5\div7}{2\times3\times7\div7}=\frac{2\times5}{2\times3}\)

2 est un facteur commun au numérateur et au dénomintateur, on peut donc les diviser par 2:

$\frac{2\times 5}{2\times 3}=\frac{2\times 5÷2}{2\times 3÷2}=\frac{5}{3}$\\(\frac{2\times5}{2\times3}=\frac{2\times5\div2}{2\times3\div2}=\frac{5}{3}\)

Donc: $\frac{70}{14}=\frac{5}{3}$\\(\frac{70}{14}=\frac{5}{3}\)

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